terça-feira, 17 de setembro de 2013

Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal muito utilizado em Análise Combinatória, recebe esse nome devido ao matemático Blaise Pascal (1623-1662). Embora os chineses já o conhecessem a mais de 500 anos antes de Pascal, foi ele quem descobriu a maioria de suas propriedades.

Uma das formas (a mais usual) de construir um triângulo de Pascal é na forma de um triângulo isósceles, preenchemos com 1´s os lados do triângulo a partir do vértice superior e para obter os números em cada linha, somamos os dois números logo acima dele na linha superior, por exemplo: 2=1+1, ou seja, o número 2 da terceira linha é igual à soma de 1+1, os dois números logo acima dele na segunda linha, assim 3=1+2, 6=3+3, 10=4+6,etc. A figura abaixo mostra o triângulo de Pascal até a sexta linha:




Matemática Triângulo de Pascal

Propriedade 1

A primeira propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos elementos de cada uma das linhas. Para ilustrar isto, vamos associar a cada linha do triângulo um número, começando do  0:
       Pascaltriangle2.PNG
A propriedade diz que a soma de todos os números de uma linha é igual a  2  elevado àquele número que associamos à linha. E o que significa isto?
Quando dizemos que o número  2  está elevado a  3 , por exemplo, queremos dizer que o  2  foi multiplicado por si mesmo  3  vezes:
 2^3 = \underbrace{ 2 \times 2 \times 2}_{3 \mathrm{vezes}} = 8

Você pode observar na figura o resultado das somas relacionadas à cada linha do triângulo:
Pascal4.png
Vamos conferir algumas delas:
  •  2^0 = 1  (qualquer número elevado a  0  dá  1 )
  •  1 + 1 = 2 = 2^1
  •  1 + 2 + 1 = 4 = 2 \times 2 = 2^2
  •  1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3
  •  1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4
  •  1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5
E assim você mesmo pode continuar a verificar a propriedade.

Propriedade 2

A próxima propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.
Ela diz que a soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados. A figura ilustra melhor a propriedade:
Pascal3.png
Vamos verificar as somas apontadas na figura:
 1 + 2 = 3
 1 + 7 = 8
 5 + 10 = 15
 20 + 15 = 35
 21 + 7 = 28
Você pode continuar verificando essa propriedade calculando mais somas.

Propriedade 3

Nossa próxima propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, começando sempre do  1  a partir da direita. Observe a figura para visualizar melhor:
Pascal2.png
A soma dos números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo daquela em que está o último número que foi somado, como mostra a figura.
Vamos conferir algumas somas:
 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
 1 + 3 + 6 = 10
 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
 1 + 6 + 21 = 28
Da mesma forma que foi feito com as propriedades anteriores, você pode continuar verificando esta! Mas tome cuidado, as somas das colunas devem começar sempre a partir do primeiro número  1  da coluna.

Propriedade 4[editar]

Nossa última propriedade é bem parecida com a anterior, só que, em vez de as somas começarem do lado direito do triângulo, desta vez devem começar do lado esquerdo:
Pascal1.png
Da mesma forma, você vai encontrar a soma desta diagonal na linha abaixo daquela em que está o último número somado. Também aqui você deve ter sempre o cuidado de começar a soma do primeiro número  1  da coluna.
Vamos verificar as somas da figura:
 1 + 2 = 3
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
 1 + 4 + 10 = 15
 1 + 6 + 21 = 28


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